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TU Berlin

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Blockseminar

Das Blockseminar richtet sich an Studenten der in der Arbeitsgruppe angebotenen Veranstaltungen und bietet die Möglichkeit, weiterführende Themen aus diesem Bereich zu bearbeiten. 

  • Ein Vortrag im Seminar ist eine Voraussetzung dafür, bei Prof. Bürgisser eine Bachelor- oder Masterarbeit zu schreiben und kann als thematischer Einstiegspunkt dafür dienen.
  • Für jeden Vortrag ist ein Zeitfenster von 90 Minuten vorgesehen (inkl. Fragen).
  • Das Blockseminar findet an den Tagen 15.2.2018 - 16.2.2018 statt.

Hinweise von Prof. Gitta Kutyniok zum Vorbereiten und Halten eines Vortrags gibt es hier.

Bei Interesse wenden Sie sich an Prof. Bürgisser mit einem Themenwunsch.

Seminarthemen

Liste der verfügbaren Seminarthemen
Nulldimensionale polynomiale Systeme, Spur und Zählen von Nullstellen

Hier geht es darum, den Koordinatenring A einer null-dimensionalen algebraischen Varietät zu beschreiben, also um Systeme von polynomialen Gleichungen mit nur endlich vielen Lösungen.
Die Anzahl der komplexen und reellen Lösungen kann aus einer quadratischen Form auf A
berechnet werden.

Literatur: Some Tapas of Computer Algebra von Cohen et al, Springer 1999.
Abschnitte 2.3 und 6.3
Faktorisierung von Polynomen

Es geht hier um die Beschreibung von effizienten Algorithmen zur Zerlegung eines Polynoms in seine irreduzible Faktoren. Als ersten Schritt wird diese Aufgabe für Polynome über endlichen Körpern gelöst. Die Übertragung auf den Körper der rationalen Zahlen erfolgt mittels Hensel Lifting. Ev. soll auch diskutiert werden, inwiefern das LLL Verfahrens hier eine Rolle spielt.

Literatur: Some Tapas of Computer Algebra von Cohen et al, Springer 1999.
Auswahl von Kapitel 4  
Tropische Kurven

Tropische Geometrie liefert einen Übergang von algebraischer Geometrie zu Kombinatorik. In diesem Vortrag sollen der tropische Halbring und tropische Polynome vorgestellt werden. Insbesondere sollen die Lösungsmengen von klassischen und tropischen Polynomen miteinander in Beziehung gesetzt werden sowie die kombinatorische Konstruktion von tropischen Kurven mittels regulärer Unterteilungen von Newton-Polytopen präsentiert werden.
Man braucht nicht unbedingt Vorkenntnisse in der algebraischen Geometrie für dieses Thema.

Hauptreferenz: Lecture Notes von Diane Maclagan
Weitere Literatur: 
"Brief introduction to tropical geometry"
- Lehrbuch "Introduction to Tropical Geometry" von D. Maclagan, B. Sturmfels
Torische Varietäten

Torische Geometrie ist ein Teilgebiet der algebraischen Geometrie, das starke Zusammenhänge mit konvexer Geometrie hat. In diesem Vortrag sollen torische Varietäten definiert werden und es soll erklärt werden, wie diese aus Fächern von Kegeln in Gittern konstruiert werden.

Hauptreferenz: Lectures on Toric Varieties by David A. Cox (Lectures 1 + 2)
Weitere Literatur: 
- Lehrbuch "Toric Varieties" von David Cox, John B. Little, Henry K. Schenck
- Lehrbuch "Introduction to Toric Varieties" von William Fulton
Grassmann-Mannigfaltigkeiten und Schubert-Varietäten

Die Menge aller Untervektorräume fixer Dimension von einem gegebenen Vektorraum ist eine Mannigfaltigkeit, genannt Grassmann-Mannigfaltigkeit. In diesem Vortrag werden wir sehen, dass diese Mannigfaltigkeiten projective Varietäten mittels der Plücker-Einbettung sind. Zudem sollen verschiedene Koordinatensysteme auf Grassmann-Mannigfaltigkeiten sowie die Stratifizierung mittels Schubert-Varietäten vorgestellt werden.

Hauptreferenzen:
- Abschnitt 3.1 im Lehrbuch "Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants" von Gelfand, Kapranov, Zelevinsky
- Abschnitt 3 und 4 in Introductory Schubert calculus von Veerle Ledoux und Simon J.A. Malham
Weitere Literatur: Abschnitt 1.5 im Lehrbuch "Principles of Algebraic Geometry" von Phillip Griffiths und Joseph Harris
Duale Varietäten

Zu jeder projektiven Varietät kann eine eindeutige duale Varietät zugeordnet werden, so dass über algebraisch abgeschlossenen Körpern sogar eine Bidualität gilt. In diesem Vortrag soll dieses Konzept der projektiven Dualität erläutert werden. Dabei soll der Fokus auf folgenden Phänomenen liegen:
- Diskriminanten definieren duale Varietäten zu rationalen normalen Kurven
- Dualität von quadratischen Kurven in der Ebene liefert eine Verallgemeinerung von Matrixinversion
- Korrespendenz von Knoten und Doppeltangent sowie von Spitzen und Wendepunkten

Hauptreferenz: Abschnitt 1.1 und Abschnitt 1.2 A-C (eventuell auch D) im Lehrbuch "Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants" von Gelfand, Kapranov, Zelevinsky
Weitere Literatur: "Projectively Dual Varieties" von Evgueni Tevelev
Grundlegende Beziehungen zwischen Grössen von Codes

Ein linearer Code $C$ ist ein Untervektorraum von $\Bbb F_q^n$. Die Güte des Codes $C$ ist beschrieben durch seine Dimension $k$, die Dimension $n$, sowie die Minimaldistanz $d$ von $C$. Codes sind wichtig für die Übertragung von Informationen. Im Vortrag solle einige grundlegende Beziehungen zwischen den Grössen $n$, $k$ und $d$ besprochen werden.

Literatur: van Lint, Introduction to Coding Theory, Kapitel 5.
Der LLL-Reduktionsalgorithmus

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe von $\Bbb Z^n$. Im Jahre 1982 entdeckten Lenstra, Lenstra und Lovasz einen effizienten Algorithmus zur Berechnung einer "reduzierten" Basis eines gegebenen Gitters. Das Verfahren hat eine gewisse Verwandtschaft mit der Gramschen Orthogonalisierungsmethode und ist von grosserer Bedeutung für viele Anwendungen der diskreten Mathematik.

Literatur: von zur Gathen und Gerhard, Modern Computer Algebra, Abschnitte 16.1-16.3.
Winkel zwischen Untervektorräumen des $\Bbb R^n$

Ein klassisches Ergebnis von Jordan besagt, dass die relative Lage zweier Untervektoräume des $\Bbb R^n$ ist durch ihre "Hauptwinkel" bestimmt ist. Es gibt einen engen Zusammenhang zur Singulärwertzerlegung von Matrizen. Diese geometrischen Konzepte sind die Datenanalyse relevant geworden.

Literatur: Siehe die Referenzen in der Arbeit "Jordan’s principal angles in complex vector spaces" von A. Galantai und Cs. J. Hegedus.
Complexity of rings of invariants
(Vergeben an Maximilian Granz)
Fundamental invariants of orbit closures
(Vergeben an Martin Stenzel)

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