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TU Berlin

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Makroskopisches Modell

Makroskopische Modelle bilden die Personenströme in ihrer Masse ab, dabei werden einzelne Personen vernächlassigt. So lassen sich Aussagen über den Personenfluss und die Dichte machen.

Die makroskopischen Modelle werden durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Hier gibt es verschiedene Richtungen in welche man einschlagen kann. Im folgenden werden einige Modelle erläutert.

Euler-/Navier-Stokes-Differentialgleichungen

Eine Idee ist Euler-/Navier-Stokes-Differentialgleichungen zu verwenden, welche aus der Fluiddynamik bekannt sind. Die Motivation diese Gleichungen für die Modellierung von Fußgängerströmen zu verwenden, erschließt sich aus der phänomenologischen Ähnlichkeit von strömenden Fluiden zu "fließenden" Menschenmengen. Eine wichtige Charakteristik hierbei ist die Massenerhaltung, diese wird durch die Gleichungen der Fluiddynamik automatisch erfüllt. Im weiteren gibt es viele gut studierte Lösungsverfahren für diese Modelle.

Die Verwendung der Strömungsgleichungen birgt jedoch auch Nachteile. Die Gleichungen bestehen aus einer Transportgleichung, um die Massenerhaltung zu beschreiben, und einer Impulsgleichung, welche die Impulserhaltung gewährleistet. Das Verhalten von Menschen ist jedoch nicht dadurch motiviert einen physikalischen Impuls zu erhalten, wie es etwa im Fall von nicht selbstständig agierenden Teilchen in Fluiden ist. Man kann nun versuchen die Impulsgleichung so zu verändern dass damit plausibles menschliches Verhalten angenähert wird.

[Bärwolff, G., Chen, M.-J., Schwandt, H., Slawig, T.: Simulation of pedestrian flow for traffic control systems]

Mehrphasenströmungen

Die oben genannten partiellen Differentialgleichungen der Fluiddynamik sind Einphasenmodelle, das heißt die Geschwindigkeiten aller zu modellierenden Personen in einem örtlichen Bereich werden als gleich angesehen. Das schränkt jedoch das Modellieren unterschiedlichen Verhaltens spezieller Individuengruppen ein. In unserer Projektgruppe wurde hierzu ein Mehrphasenlöser modifiziert, mit welchem es dadurch möglich ist mehrere verschiedene Menschengruppen mittels der Navier-Stokes Gleichungen zu simulieren.

Eigenentwickeltes Modell

Neben der Verwendung von bereits bekannten Modellen, wie jenes aus der Fluiddynamik, ist es natürlich auch möglich ein komplett neues Modell zu konstruieren. Hierbei wurde die oben genannte Impulsgleichung weggelassen und die Transportgleichung um weitere Gleichungen erweitert, welche menschliches Verhalten annähernd sinnvoll beschreiben sollen. So wurde beispielsweise ein Flussterm eingeführt, welcher vom Dichtegradient abhängig ist. Dadurch wird erreicht, dass Menschen bei großen Ansammlungen die Tendenz haben sich zu verteilen, was ein wichtiger Aspekt menschlichen Verhaltens ist. Die Richtung dieser Ausweichbewegung wird dabei zeitlich dynamisch berechnet. Dies geschieht über ein Potentialfeld welches Umweltinformationen beherbergt. Diese Informationen bestimmen die Entscheidungsfindung der Fußgänger für eine neue sinnvolle Richtung. Als Informationen fließen beispielsweise Ferninformation wie Geometrie des Gebietes oder Fußgängerstaus ein. Zusätzlich können lokale Informationen wie zum Beispiel nicht gestaute andere Fußgänger einfließen.

Bei diesem Modell handelt es sich um ein n-Speziesmodell, dadurch ist es ebenfalls möglich das Verhalten von verschiedenen Menschengruppen zu simulieren. Das Modell wurde um einen Term erweitert welcher Gruppenbildung beschreibt, das heisst, dass sich Menschen der gleichen Gruppe stärker anziehen und somit einen Zusammenhalt bilden.



In dem Video handelt es sich um eine Simulation von zwei sich im 90 Grad Winkel kreuzende Personenströme. Die Randdaten wurden dabei aus dem Experiment vom 13. Dez. 2010 im Mathematik Foyer ermittelt.

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