Inhalt des Dokuments
Allgemeine Informationen
- Es sind bisher 6 Seminarthemen vergeben. Interessenten für einen Seminarvortrag können sich noch kurzfristig melden.
- Wichtig: Die Zahl der Seminarteilnehmer ist auf 8 StudentInnen beschränkt. Es wird nächstes Semester (SoSe 2016) ein weiteres Seminar angeboten werden.
- Eine Liste mit Informationen zu den verfügbaren Seminarthemen ist nun online.
- Für jeden Vortrag ist ein Zeitfenster von 90 Minuten vorgesehen (inkl. Fragen).
- Die Vorbesprechung zum Blockseminar findet am 29.10.15 um 14 Uhr in Raum MA 316 statt.
- Auf dieser Seite werden in Kürze die zu vergebenden Themen zu finden sein.
- Das Blockseminar findet an den Tagen 28.01-29.01.15 statt.
Seminarthemen
| Gröbner Basen Gröbner Basen und Buchberger's Algorithmus sind wichtige Werkzeuge zum Rechnen mit algebraischen Varietäten. Sie dienen unter anderem dazu, zu entscheiden, ob ein multivariates Polynom $P$ zu einem Ideal, welches von anderen Polynomen $f_1,\ldots,f_n$ erzeugt wird, gehört. [Cox, Little, O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Kapitel 2] |
| Multivariate Resultanten Für $d=(d_1,\ldots,d_n)$ sei $H_d$ der Vektorraum der Systeme $f=(f_1,\ldots,f_n)$, wo $f_i$ ein homogenes Polynom vom Grad $d_i$ in $n$ Variablen ist. Es soll gezeigt werden, dass die Menge der Systeme, deren projektive Nullstellenmenge leer ist, eine irreduzible Hyperfläche in $H_d$ bildet. Der zugehörige Erzeuger (eindeutig bis auf Normierung) heisst multivariate Resultante. Dessen Multigrad soll bestimmt werden. [Van der Waerden, Moderne Algebra. Vol. 2; Abschnitt 16.5] [Lang, Algebra, 3rd edition, Chap. IX.4.] [Gelfand, Kapranov, Zelevinsky. Discriminants, Resultants, and Multivariate Determinants; Chap 13.2] |
| Grassmann Varietäten (Alexander Otto, Prof. Peter Bürgisser) Die Menge der $d$-dimensionalen linearen Unterräume von $K^n$ nennt man die Grassmann Varietät $G(d,n)$. Es soll gezeigt, werden, dass diese die Struktur einer glatten projektiven Varietät hat. Die verschiedenen Parametrisierungen von $G(d,n)$ sollen erklärt werden, unter anderem die mit mittels Plücker Koordinaten. [Gelfand, Kapranov, Zelevinsky. Discriminants, Resultants, and Multivariate Determinants; Kapitel 3.1] |
| Theorem von Bezout für ebene projektive Kurve Das Theorem von Bezout sagt aus, dass sich in der komplexen projektiven Ebene zwei Kurven $C_1,C_2$ in allgemeiner Lage in genau $\mathrm{degree}(C_1)\cdot \mathrm{degree}(C_1)$ vielen Punkten schneiden. In diesem Vortrag soll dieses Theorem bewiesen werden. [Fulton, Algebraic Curves; 3.3, 5.3] |
| Dualität ebener Kurven (Sophie Marie Blasius, Pierre Lairez) Sei $C$ eine Kurve in der projektiven Ebene. In diesem Vortrag soll die zu $C$ duale Kurve, bezeichnet mit $C^*$, definiert und ihre Eigenschaften vorgestellt werden, darunter der Satz über die Bidualität, welcher besagt, dass $C^{**} = C$. [Gelfand, Kapranov, Zelevinsky. Discriminants, Resultants, and Multivariate Determinants; Chap, 1.2] |
$\mathbb{C}$-Topologie auf Varietäten (Maximilian Granz, Pierre Lairez) In diesem Vortrag geht es darum, die euklidische Topologie auf $\mathbb{C}^n$ mit der Zariski Topologie zu vergleichen. Letztere ist im Allgemeinen viel gröber, jedoch ist der Abschluss von konstruierbaren Mengen bezüglich beider Topologien der gleiche. [Kraft, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie; Kap. 7] |
| Reeller Nullstellensatz (Niels Marquart, Prof. Peter Bürgisser) Seien $f_1,\dotsc,f_k$ komplexe multivariate Polynome. Falls die Polynome $f_1,\ldots,f_k$ keine gemeinsame Nullstelle haben, so sagt Hilberts Nullstellensatz, dass Polynome $g_1,\ldots,g_k$ existieren mit der Eigenschaft, dass $1 = g_1f_1+\ldots +g_kf_k$. In diesem Vortrag geht es darum, wie sich dieser Satz auf die reelle Situation überträgt. [Bochnak, Coste, Roy, Real Algebraic Geometry; 4.1] |
| Hilbert's Endlichkeitssatz (Philipp Reichenbach, Jesko Hüttenhain) Betrachtet man Untergruppen $G\subseteq\operatorname{Aut}(A)$ der Automorphismengruppe einer endlich erzeugten $k$-Algebra $A$, so ist unter gewissen Umständen der Invariantenring $A^G$ wieder eine endlich erzeugte $k$-Algebra. Für endliche Gruppen ist die Aussage leicht zu beweisen. In diesem Vortrag wird die Aussage für $G=\mathrm{GL}(V)$ bewiesen. [Dolgachev, Lectures on Invariant Theory; Kapitel 3.1] |
| Eindeutige Primfaktorzerlegung in algebraischen Zahlkörpern Es sei $\mathbb{Q}\subset \mathbb{K}$ eine endliche algebraische Erweiterung und $\mathcal{O}$ der ganze Abschluss von $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{K}$. Während sich in $\mathbb{Z}$ jedes Element eindeutig als Produkt von Primelementen schreiben lässt, ist das bei $\mathcal{O}$ nicht unbedingt möglich. In diesem Vortrag soll gezeigt werden, dass sich jedoch jedes Ideal $\mathfrak{a}\subset \mathcal{O}$ eindeutig als Produkt von Primidealen schreiben lässt. Dazu wird unter anderem die Klassenzahl eines algebraischen Zahlkörpers eingeführt. [Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory; 12.2] |
| Ein Spezialfall von Fermat's letztem Satz (Matthias Möser, Paul Breiding) Fermat's letzter Satz besagt, dass für $n\geq 3$ und beliebige $x,y,z\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ gilt, dass $x^n+y^n\neq z^n$. Man überlegt sich schnell, dass es ausreicht $n=p$ als Primzahl anzunehmen. In diesem Vortrag soll der Satz unter der Annahme, dass $\mathrm{ggT}(xyz,p)=1$ und dass $p$ teilerfremd zur Klassenzahl von $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ ist, bewiesen werden. Hier bezeichnet $\zeta_p\in\mathbb{C}$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel. [Washington, Introduction to cyclotomic fields; Kapitel 1] |
| Galoistheorie und ganze Ringerweiterungen (Martin Stenzel) Es sei $A$ ein ganz abgeschlossener Integritätsring und $\mathfrak{p}\subset A$ ein maximales Ideal in $A$. Sei weiterhin $\mathbb{K}$ der Quotientenkörper von $A$ und $f\in\mathbb{K}[X]$. In diesem Vortrag soll der Zusammenhang der Galoisgruppe von $f$ zur Galoisgruppe von $f\bmod \mathfrak{p}$ vorgestellt werden. [Lang, Algebra, 3rd edition; Kap. VII.2.] [Lorenz, Einführung in die Algebra, Teil 1; Abschnitt 16] |
Seminarplan
| Wann? | Wer? |
|---|---|
| Do. 28.1, 8:15 - 10:00 Uhr | Sophie-Marie Blasius: Dualität ebener Kurven |
| Do. 28.1, 13:00 - 15:00 Uhr | Matthias Möser: Ein Spezialfall von Fermat's letztem Satz |
| Do. 28.1, 15:00 - 17:00 Uhr | Martin Stenzel: Galoistheorie und ganze Ringerweiterungen |
| Fr. 29.1, 09:00 - 11:00 Uhr | Alexander Otto: Grassmann Varietäten |
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