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TU Berlin

Inhalt des Dokuments

Allgemeine Informationen

  • Es sind bisher 6 Seminarthemen vergeben. Interessenten für einen Seminarvortrag können sich noch kurzfristig melden.
  • Wichtig: Die Zahl der Seminarteilnehmer ist auf 8 StudentInnen beschränkt. Es wird nächstes Semester (SoSe 2016) ein weiteres Seminar angeboten werden.
  • Eine Liste mit Informationen zu den verfügbaren Seminarthemen ist nun online.
  • Für jeden Vortrag ist ein Zeitfenster von 90 Minuten vorgesehen (inkl. Fragen).
  • Die Vorbesprechung zum Blockseminar findet am 29.10.15 um 14 Uhr in Raum MA 316 statt.
  • Auf dieser Seite werden in Kürze die zu vergebenden Themen zu finden sein.
  • Das Blockseminar findet an den Tagen 28.01-29.01.15 statt.

Seminarthemen

Liste der verfügbaren Seminarthemen
Gröbner Basen

Gröbner Basen und Buchberger's Algorithmus sind wichtige Werkzeuge zum Rechnen mit algebraischen Varietäten. Sie dienen unter anderem dazu, zu entscheiden, ob ein multivariates Polynom $P$ zu einem Ideal, welches von anderen Polynomen $f_1,\ldots,f_n$ erzeugt wird, gehört.

[Cox, Little, O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Kapitel 2]
Multivariate Resultanten

Für $d=(d_1,\ldots,d_n)$ sei $H_d$ der Vektorraum der Systeme $f=(f_1,\ldots,f_n)$, wo $f_i$ ein homogenes Polynom vom Grad $d_i$ in $n$ Variablen ist. Es soll gezeigt werden, dass die Menge der Systeme, deren projektive Nullstellenmenge leer ist,  eine irreduzible Hyperfläche in $H_d$ bildet. Der zugehörige Erzeuger (eindeutig bis auf Normierung) heisst multivariate Resultante. Dessen Multigrad soll bestimmt werden.

[Van der Waerden, Moderne Algebra. Vol. 2; Abschnitt 16.5]
[Lang, Algebra, 3rd edition, Chap. IX.4.]
[Gelfand, Kapranov, Zelevinsky. Discriminants, Resultants, and Multivariate Determinants; Chap 13.2]
Grassmann Varietäten (Alexander Otto, Prof. Peter Bürgisser)

Die Menge der $d$-dimensionalen linearen Unterräume von $K^n$ nennt man die Grassmann Varietät $G(d,n)$. Es soll gezeigt, werden, dass diese die Struktur einer glatten projektiven Varietät hat. Die verschiedenen Parametrisierungen von $G(d,n)$ sollen erklärt werden, unter anderem die mit mittels Plücker Koordinaten.

[Gelfand, Kapranov, Zelevinsky. Discriminants, Resultants, and Multivariate Determinants; Kapitel 3.1]
Theorem von Bezout für ebene projektive Kurve

Das Theorem von Bezout sagt aus, dass sich in der komplexen projektiven Ebene zwei Kurven $C_1,C_2$ in allgemeiner Lage in genau $\mathrm{degree}(C_1)\cdot \mathrm{degree}(C_1)$ vielen Punkten schneiden. In diesem Vortrag soll dieses Theorem bewiesen werden.

[Fulton, Algebraic Curves; 3.3, 5.3]
Dualität ebener Kurven (Sophie Marie Blasius, Pierre Lairez)

Sei $C$ eine Kurve in der projektiven Ebene. In diesem Vortrag soll die zu $C$ duale Kurve, bezeichnet mit $C^*$, definiert und ihre Eigenschaften vorgestellt werden, darunter der Satz über die Bidualität, welcher besagt, dass $C^{**} = C$.

[Gelfand, Kapranov, Zelevinsky. Discriminants, Resultants, and Multivariate Determinants; Chap, 1.2]
$\mathbb{C}$-Topologie auf Varietäten (Maximilian Granz, Pierre Lairez)
 
In diesem Vortrag geht es darum, die euklidische Topologie auf $\mathbb{C}^n$ mit der Zariski Topologie zu vergleichen. Letztere ist im Allgemeinen viel gröber, jedoch ist der Abschluss von konstruierbaren Mengen bezüglich beider Topologien der gleiche.

[Kraft, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie; Kap. 7]

Reeller Nullstellensatz (Niels Marquart, Prof. Peter Bürgisser)

Seien $f_1,\dotsc,f_k$ komplexe multivariate Polynome. Falls die Polynome $f_1,\ldots,f_k$ keine gemeinsame Nullstelle haben, so sagt Hilberts Nullstellensatz, dass Polynome $g_1,\ldots,g_k$ existieren mit der Eigenschaft, dass $1 =  g_1f_1+\ldots +g_kf_k$. In diesem Vortrag geht es darum, wie sich dieser Satz auf die reelle Situation überträgt.

[Bochnak, Coste, Roy, Real Algebraic Geometry; 4.1]
Hilbert's Endlichkeitssatz (Philipp Reichenbach, Jesko Hüttenhain)

Betrachtet man Untergruppen $G\subseteq\operatorname{Aut}(A)$ der
Automorphismengruppe einer endlich erzeugten $k$-Algebra $A$, so ist
unter gewissen Umständen der Invariantenring $A^G$ wieder eine endlich
erzeugte $k$-Algebra. Für endliche Gruppen ist die Aussage leicht zu
beweisen. In diesem Vortrag wird die Aussage für $G=\mathrm{GL}(V)$ bewiesen.

[Dolgachev, Lectures on Invariant Theory; Kapitel 3.1]
Eindeutige Primfaktorzerlegung in algebraischen Zahlkörpern

Es sei $\mathbb{Q}\subset \mathbb{K}$ eine endliche algebraische Erweiterung und $\mathcal{O}$ der ganze Abschluss von $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{K}$. Während sich in $\mathbb{Z}$ jedes Element eindeutig als Produkt von Primelementen schreiben lässt, ist das bei $\mathcal{O}$ nicht unbedingt möglich. In diesem Vortrag soll gezeigt werden, dass sich jedoch jedes Ideal $\mathfrak{a}\subset \mathcal{O}$ eindeutig als Produkt von Primidealen schreiben lässt. Dazu wird unter anderem die Klassenzahl eines algebraischen Zahlkörpers eingeführt.

[Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory; 12.2]
Ein Spezialfall von Fermat's letztem Satz (Matthias Möser, Paul Breiding)

Fermat's letzter Satz besagt, dass für $n\geq 3$ und beliebige $x,y,z\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ gilt, dass $x^n+y^n\neq z^n$. Man überlegt sich schnell, dass es ausreicht $n=p$ als Primzahl anzunehmen. In diesem Vortrag soll der Satz unter der Annahme, dass $\mathrm{ggT}(xyz,p)=1$ und dass $p$ teilerfremd zur Klassenzahl von $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ ist, bewiesen werden. Hier bezeichnet $\zeta_p\in\mathbb{C}$ eine primitive $p$-te Einheitswurzel.

[Washington, Introduction to cyclotomic fields; Kapitel 1]
Galoistheorie und ganze Ringerweiterungen (Martin Stenzel)

Es sei $A$ ein ganz abgeschlossener Integritätsring und $\mathfrak{p}\subset A$ ein maximales Ideal in $A$. Sei weiterhin $\mathbb{K}$ der Quotientenkörper von $A$ und $f\in\mathbb{K}[X]$. In diesem Vortrag soll der Zusammenhang der Galoisgruppe von $f$ zur Galoisgruppe von $f\bmod \mathfrak{p}$ vorgestellt werden.

[Lang, Algebra, 3rd edition; Kap. VII.2.]
[Lorenz, Einführung in die Algebra, Teil 1; Abschnitt 16]

Seminarplan

Seminarplan
Wann?
Wer?
Do. 28.1, 8:15 - 10:00 Uhr
Sophie-Marie Blasius: Dualität ebener Kurven
Do. 28.1, 13:00 - 15:00 Uhr
Matthias Möser: Ein Spezialfall von Fermat's letztem Satz
Do. 28.1, 15:00 - 17:00 Uhr
Martin Stenzel: Galoistheorie und ganze Ringerweiterungen
Fr. 29.1, 09:00 - 11:00 Uhr
Alexander Otto: Grassmann Varietäten

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