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TU Berlin

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Blockseminar

Allgemeine Informationen

Das Blockseminar richtet sich an Studenten der Algebra 1 und Algebra 2 und bietet die Möglichkeit, weiterführende Themen aus diesem Bereich zu bearbeiten. 

  • Ein Vortrag im Seminar ist eine Voraussetzung dafür, bei Prof. Bürgisser eine Bachelor- oder Masterarbeit zu schreiben und kann als thematischer Einstiegspunkt dafür dienen.
  • Für jeden Vortrag ist ein Zeitfenster von 90 Minuten vorgesehen (inkl. Fragen).
  • Das Blockseminar findet ganztägig im Zeitraum 9.2.2017 - 10.2.2017 statt.
  • Das maximale Anzahl an Teilnehmern ist erreicht. Interessierte Studenten haben nächstes Semester wieder die Möglichkeit am Blockseminar teilnehmen.

Hinweise von Prof. Gitta Kutyniok zum Vorbereiten und Halten eines Vortrags gibt es hier

Zeitplan
Tag
Uhrzeit
Vortrag
Donnerstag
08:15 - 09:45
Jorge Alayo
10:15 - 11:45
Nina Jekel
13:15 - 14:45
Kemal Rose
15:15 - 16:45
Sascha Timme
Freitag
08:15 - 09:45
Nils Marquardt
10:15 - 11:45
Marco Kiesenkamp
13:15 - 14:45
Parthiv Basu

Themen

Mögliche Seminarthemen
Zerlegung ganzer Zahlen als Summe von Quadraten (N. Jekel)
Es soll eine Formel für die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Gleichung $x^2+y^2=z$ hergeleitet werden. In diese Formel gehen die quadratischen Charaktere ein. Der klassiche Beweis verwendet die Dirichletschen Reihen.

Literatur: Ireland and Rosen, A classical introduction to modern number theory, Kap. 17, §6.
Eindeutige Primfaktorzerlegung in algebraischen Zahlkörpern
Es sei $\mathbb{Q}\subset K$ eine endliche algebraische Erweiterung und $\mathcal{O}$ der ganze Abschluss von $\mathbb{Z}$ in $K$. Während sich in $\mathbb{Z}$ jedes Element eindeutig als Produkt von Primelementen schreiben lässt, ist das bei $\mathcal{O}$ nicht unbedingt möglich. In diesem Vortrag soll gezeigt werden, dass sich jedes Ideal in $\mathcal{=}$ als Produkt von Primidealen schreiben lässt.

Literatur: Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory, Kap. 12 §2.
Die endlichen Untergruppen von $SO(3)$
Man kann die endlichen Untergruppen der Drehgruppe $SO(3)$ klassifizieren. Es gibt nur endlich viele Typen und diese hängen mit den Symmetriegruppen der regulären Polyeder zusammen.

Literatur: Knörrer, Geometrie, Kap. 1.3
Die Geometrie der Drehgruppe $SO(3)$
Die Stichworte sind hier: Topologie der Drehgruppe (reeller projektiver Raum), universelle Überlagerung $SU(2)$ (Hopfabbildung).

Literatur: Knörrer, Geometrie, Kap. 6.
Die Gruppen $PSL(n,K)$ (P. Basu)
Es soll gezeigt werden, dass diese einfache Gruppen sind. Wenn der Körper $K$ endliche ist, erhält man endliche einfache Gruppen vom Lie Typ.

Literatur: Lang, Algebra, Chap. XIII §8-§9
Hurwitz Theorem über die Summe von Quadraten (J. Alayo)
Angenommen, es gibt komplexe Bilinearformen $z_1,\ldots,z_n$ in $x_1,\ldots,x_n$ and $y_1,\ldots,y_n$, so dass $(x_1^2+\ldots+x_n^2)(y_1^2+\ldots+y_n^2)=z_1^2+\ldots+z_n^2.$ Dann ist $n=1,2,4,8$. Für diese Zahlen existieren solche Darstellungen (Norm von komplexen Zahlen, Quaternionen, Oktonionen).

Literatur: Keith Conrad, The Hurwitz theorem on sums of squares.
Winkel zwischen Untervektorräumen des $\mathbb{R}^n$ (A. Müller (?))
Ein klassisches Ergebnis von Jordan besagt, dass die relative Lage zweier Untervektorräume des $\mathbb{R}^n$ durch ihre Hauptwinkel bestimmt ist. Es gibt einen engen Zusammenhang zur Singulärwertzerlegung von Matrizen. Diese geometrischen Konzepte sind in der Datenanalyse relevant geworden.
Grassmann Mannigfaltigkeiten
Die Grassmann Mannigfaltigkeit $G(k,n)$ besteht aus den $k$-dimensionalen Teilräumen des $\mathbb{R}^n$. Es soll gezeigt werden, dass diese die Struktur einer glatten algebraischen Mannigfaltigkeit hat.
Quantitative Positivstellensätze (N. Marquardt)
Es sollen quantitative Aussagen des Positivstellensatzes und seiner Varianten besprochen werden.
Komplexität der Permanente und der Fakultätsfunktion $n!$ (M. Kiesenkamp)
Es sollen Implikationen zwischen verschiedenen Vermutungen aus der algebraischen Komplexitätstheorie hergestellt werden. Insbesondere soll gezeigt werden, dass Shub und Smales Tau Vermutung die Valiantsche Vermutung über die Schwierigkeit der Permanente impliziert.

Literatur: Bürgisser, On defining integers and proving arithmetic circuit lower bounds. Computational complexity 18, pp. 81-103, 2009.
Numerische Methoden zur Dekomposition von algebraischen Varietäten in irreduzible Komponenten (S. Timme)
Eine Datenstruktur um irreduzible Komponenten einer algebraischen Varietät zu speichern sind die sogenannten Witness-sets. In diesem Vortrag soll die Idee der Witness-Sets und Algorithmen um sie zu berechnen vorgestellt werden.

Literatur: Sommese, A., Verschelde, J., Wampler, C.W., Numerical decomposition of the solution sets of polynomial systems into irreducible components, SIAM J. Numer. Anal., Vol. 38, No. 6, pp. 2022-2046.
Chevalley-Shephard-Todd-Theorem (K. Rose)
Die wirkung einer endlichen Gruppe $G$ auf einem affinen Raum $\Bbb C^n$ liefert eine Wirkung auf dem Polynomring $\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]$. Der Ring $\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]^G$ aller $G$-invarianten Polynome ist genau dann wieder ein Polynomring, wenn der Quotient $\Bbb C^n/G$ wieder die Struktur eines affinen Raums hat - das Ergebnis von Shephard und Todd besagt, dass beides wiederum äquivalent dazu ist, dass $G$ von Reflexionen erzeugt wird. Dieses beeindruckende Resultat soll in diesem Vortrag vorgestellt werden.

Literatur: Lehrer & Taylor - Unitary Reflection Groups

 

 

 

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