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TU Berlin

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Blockseminar

Das Blockseminar richtet sich an Studenten der in der Arbeitsgruppe angebotenen Veranstaltungen und bietet die Möglichkeit, weiterführende Themen aus diesem Bereich zu bearbeiten. 

  • Ein Vortrag im Seminar ist eine Voraussetzung dafür, bei Prof. Bürgisser eine Bachelor- oder Masterarbeit zu schreiben und kann als thematischer Einstiegspunkt dafür dienen.
  • Für jeden Vortrag ist ein Zeitfenster von 90 Minuten vorgesehen (inkl. Fragen).
  • Das Blockseminar findet an den Tagen 6.7.2017 - 7.7.2017 statt.

Hinweise von Prof. Gitta Kutyniok zum Vorbereiten und Halten eines Vortrags gibt es hier.

Bei Interesse wenden Sie sich an Prof. Bürgisser mit einem Themenwunsch.

Änderung Terminplan

Aufgrund einer Kollision mit der Algebra-Vorlesung wurde der Terminplan geändert.

Seminarplan

Seminarplan
Wann?
Wer?
Do. 6.7., 1000 - 1130
Sascha Hauch
Do. 6.7., 1300 - 1445
Magdalena Trzeciak
Do. 6.7., 1500 - 1630
Alexander Rehbein
Fr. 7.7., 0830 - 1000
Maximilian Richter
Fr. 7.7., 1015 - 1145
Florian Blatt

Seminarthemen

Liste der verfügbaren Seminarthemen
Eindeutige Primfaktorzerlegung in algebraischen Zahlkörpern
(Vergeben an Florian Blatt)

Es sei $\mathbb{Q}\subset \mathbb{K}$ eine endliche algebraische Erweiterung und $\mathcal{O}$ der ganze Abschluss von $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{K}$. Während sich in $\mathbb{Z}$ jedes Element eindeutig als Produkt von Primelementen schreiben lässt, ist das bei $\mathcal{O}$ nicht unbedingt möglich. In diesem Vortrag soll gezeigt werden, dass sich jedoch jedes Ideal $\mathfrak{a}\subset \mathcal{O}$ eindeutig als Produkt von Primidealen schreiben lässt. Dazu wird unter anderem die Klassenzahl eines algebraischen Zahlkörpers eingeführt.

Literatur: Ireland, Rosen, A classical introduction to modern number theory; 12.2
Quadratisches Reziprozitätsgesetz
(Vergeben an Magda Trzeciak)

Es handelt sich um ein von Gauss entdecktes fundamentales Gesetz der Zahlentheorie, das ausdrückt, wann eine Zahl ein quadratischer Rest ist. Es gibt dafür zahlreiche Beweise. Davon soll einer vorgeführt werden.

Literatur: z.B. Ireland und Rosen, A classical introduction ot number theory, Kapitel 5. 
Der Körper der p-adischen Zahlen
(Vergeben an Sascha Hauch)

Diese Körper entstehen aus dem Körper der rationalen Zahlen durch Vervollständigung bzgl. der $p$-adischen Metrik. Sie sind von grosser Bedeutung in der Zahlentheorie. Im Vortrag sollen diese Körper eingeführt und einige ihrer grundlegende Eigenschaften besprochen werden.

Literatur: Borowics und Shafarevic, Zahlentheorie, Abschnitte I.3-I.4.
Grundlegende Beziehungen zwischen Grössen von Codes

Ein linearer Code $C$ ist ein Untervektorraum von $\Bbb F_q^n$. Die Güte des Codes $C$ ist beschrieben durch seine Dimension $k$, die Dimension $n$, sowie die Minimaldistanz $d$ von $C$. Codes sind wichtig für die Übertragung von Informationen. Im Vortrag solle einige grundlegende Beziehungen zwischen den Grössen $n$, $k$ und $d$ besprochen werden.

Literatur: van Lint, Introduction to Coding Theory, Kapitel 5.
Der LLL-Reduktionsalgorithmus

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe von $\Bbb Z^n$. Im Jahre 1982 entdeckten Lenstra, Lenstra und Lovasz einen effizienten Algorithmus zur Berechnung einer "reduzierten" Basis eines gegebenen Gitters. Das Verfahren hat eine gewisse Verwandtschaft mit der Gramschen Orthogonalisierungsmethode und ist von grosserer Bedeutung für viele Anwendungen der diskreten Mathematik.

Literatur: von zur Gathen und Gerhard, Modern Computer Algebra, Abschnitte 16.1-16.3.
Black Box Lineare Algebra und Wiedemanns Algorithmus
(Vergeben an Maximilian Richter)

Bei gewissen strukturierten Matrizen $A$ über einem endlichen Körpern lässt sich die Lösung eines linearen Gleichungssystems $Ax=b$ viel effizienter als mit Gausselimination berechnen. Wiedemanns Algorithmus führt diese Aufgabe auf die Lösung einer linear rekurrenten Gleichung und damit auf den Euklidischen Algorithmus zurück. Das Verfahren ist von Bedeutung in der Kryptographie.

Literatur: von zur Gathen und Gerhard, Modern Computer Algebra, Abschnitte 12.3-12.4.
Die endlichen Untergruppen von $\operatorname{SO}(3)$

Man kann die endlichen Untergruppen der Drehgruppe $\operatorname{SO}(3)$ klassifizieren. Es gibt nur endlich viele Typen und diese hängen mit den Symmetriegruppen der regulären Polyeder zusammen.

Literatur: Knörrer, Geometrie, Kap 1.3.
Die Geometrie der Drehgruppe $\operatorname{SO}(3)$
(Vergeben an Alexander Rehbein)

Die Stichworte sind hier: Topologie der Drehgruppe (reeller projektiver Raum), universelle Überlagerung $\operatorname{SO}(2)$ (Hopfabbildung).

Literatur: Knörrer, Geometrie, Kap 6.
Winkel zwischen Untervektorräumen des $\Bbb R^n$

Ein klassisches Ergebnis von Jordan besagt, dass die relative Lage zweier Untervektoräume des $\Bbb R^n$ ist durch ihre "Hauptwinkel" bestimmt ist. Es gibt einen engen Zusammenhang zur Singulärwertzerlegung von Matrizen. Diese geometrischen Konzepte sind die Datenanalyse relevant geworden.

Literatur: Siehe die Referenzen in der Arbeit "Jordan’s principal angles in complex vector spaces" von A. Galantai und Cs. J. Hegedus.

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