Forschung

TP B04: Multiscale tensor decomposition methods for partial differential equations
(R. Kornhuber, H. Yserentant, R. Schneider, R. Klein)

Abstract:
TP B04 project develops methods for turbulent flow simulations based on multiscale tensor decomposi- tion methods that are intended to be used and to be compared with other methods in the framework of population balance systems in the current project. The feedback of the comparisons will be provided to project B04 to be used for the further development of those methods.
We will cooperate with TP C03 on multiscale modeling for chemical master equations with links, in particular, to deferment algorithms and more generally to the challenges of stochastic simulations with a wide range of concentrations.
As discussed above, in later stages of the SFB, the methods to be developed in this project should be suitable for the simulation of water droplet and ice crystal formation in simplified models of clouds. These meteorological processes are central to project TP A01 and also relevant to project TP C06 and so there will be a shared interest in the relevant physics, although joint numerical work is not forseen. 

ERA Chemistry - Generalized tensor methods in quantum chemistry
(Gemeinschaftsprojekt mit dem "Fonds zur Förderung der wissenschaftlichen Forschung (FWF) [2]" (Professor Frank Verstraete) und "OTKA Hungarian Scientific Research Fund [3]" (Professor Dr. Oers Legeza [4])

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Abstract:
Die Berechnung der elektronischen Struktur ist von herausragender Bedeutung in der modernen Chemie und Materialwissenschaften, und zudem ein extrem schwieriges numerisches Unterfangen. Im Gegensatz zu dem enormen Fortschritten in der Berechnung schwach korrellierter Systeme mittels Dichte-Funktionaltheorie (DFT), für große Systeme, und Coupled Cluster Methoden zur hochgenauen Berechnung, bleiben im Wesentlichen zwei Typen von Problemen, bei denen aktuelle quantenchemische Methoden Defizite aufweisen:1) offenschalige Systeme mit einer großen Zahl ungepaarter Elektronen, wie sie in verschiedenen Übergangsmetallen und magnetischen Materialien vorkommen,2) ausgedehnte periodische Systeme ohne Bandlücke, bei denen die Grenzen der Anwendbarkeit größenkonsistenter Methoden erreicht ist.Das Ziel des Antrages ist die Entwicklung von Tensornetzwerk-basierten Algorithmen, die effizient auf offene Probleme der Quantenchemie angewandt werden können. Neuartige methodische Konzepte der Tensor-Zerlegung müssen entwickelt werden, um z.B. der nichtlokalen Struktur des Hamilton-Operators Rechnung zu tragen. Zu diesem Zweck gilt es komplementäre Expertisen der schlagkräftigen DMRG Methode und verwandte Entwicklungen der Physik, Mathematik und Informatik zu bündeln.Um eine effiziente Implementierung eines quantenchemischen Tensor-Netzwerkes zu erreichen werden unsere Entwicklung mit existierenden Programmstrukturen des QC-DMRG- Budapest [Legeza-2011] und des TTNS-Vienna [Murg-2010c] Codes verglichen und getestet werden.

"Adaptives Lösungsverfahren für die Coupled-Cluster-Gleichung und Tensorprodukt-Approximation von Zweielektronenintegralen."

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Abstrakt: Um bei der Berechnung der Elektronenstruktur eine bezüglich des Rechenaufwands optimale Komplexität zu erzielen, d.h.~lineare Abhängigkeit von der Systemgröße bzw. der Anzahl an Freiheitsgraden, ist der Einsatz adaptiver Methoden unerläßlich. Im ersten Teil unseres Projekts möchten wir neuere Konzepte aus der Mehrskalenanalysis zur Entwicklung adaptiver Algorithmen für Coupled-Cluster und Configuration-Interaction-Methoden heranziehen. Hierbei bezieht sich Adaptivität auf die Auswahl derjenigen Anregungsamplituden welche den größten Einfluß auf die Energie ausüben. Verschiedene derartige Ansätze sind aus der Literatur bekannt, wobei es unsere Absicht ist einige neue mathematisch motivierte Ideen einzubringen, wie die Wahl einer geeigneten Norm für die Auswahl der Amplituden sowie die Anwendung von a posteriori Fehlerschätzern.

Der zweite Teil unseres Projekts beschäftigt sich mit der effizienten Berechnung von Zweielektronenintegralen, einem typischen Engpaß bei quantenchemischen Rechnungen. Wir möchten adaptive Konzepte in unser kürzlich entwickeltes, auf optimalen Tensorprodukt-Approximationen basierendes Verfahren einbinden. Dies läßt sich dadurch bewerkstelligen, daß man hierarchische Tensorprodukt-Zerlegungen konstruiert sowie adaptive Algorithmen für die Faltung mit dem Coulombpotential verwendet.

"Mathematische Methoden zur Extraktion quantifizierbarer Information aus komplexen Systemen"

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Abstrakt:
Many challenging problems of numerical computations arise from problems involving a high spatial dimension. For a fine grid resolution even 3 dimensions cause a problem, but 6 or even much higher dimensions require quite new methods, since the standard approaches have a computational complexity growing exponentially in the dimension ( curse of dimensionality). A remedy is the use of data-sparse matrices or corresponding constructions exploiting tensor product representations. Here, we focus on eigenvalue problems in this field. While the design of the algorithms is rather general, the main application are problems from electronic structure calculations.

Many of the developed methods may be applied to general problems stemming from elliptic differential or integral operators. In particular, the basic electronic Schrödinger equation is an eigenvalue problem for an elliptic 2nd order partial differential equation in high dimensions. Alternative to a direct treatment of this original problem we would like to exploit successful developments in quantum chemistry, mainly putting newly developed methods on top of well established electronic structure programs. A major focus will be on eigenvalue problems in Density Functional Methods. Perhaps there are further instances where the development of the project would contribute to numerical methods in electronic structure calculation, e.g. adaptive configuration interaction (CI) and coupled cluster (CC) methods and Jastrow factor calculation.

"Numerical Discretization Methods in Quantum Chemistry"

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Abstrakt:
Computer simulation plays an ever expanding role in modern scientific research, and the fields of chemistry, biochemistry, and pharmaceutical research are no exceptions. The model on which our physical understanding of chemistry rests is the Schrödinger equation, the basic equation of quantum mechanics. Approximation techniques for its solutions is an active area of research spanning the fields of chemistry, physics, and applied mathematics. The main problem is that this equation is an equation in 3N space dimensions for a system consisting of N electrons and nuclei. The so-called "curse of dimensionality" prohibits direct approximation techniques for even reasonably small systems, and a host of methods have been discovered over the past decades which attack the problem from other approaches. However recent developments indicate that the curse of dimensionality might be broken---or at least brought into the realm of numerical tractability. Among these developments is an improved understanding of the "regularity" of the solutions, together with advances in sparse grid techniques from numerical analysis. The goal of this project is to further refine these ideas and to implement them in efficient numerical algorithms.