Tensorproductapproximation in Uncertainty Quantification

Die Modellierung und das Durchführen von Berechnungen mit stochastischen (unsicheren) Daten ist ein hochaktuelles Forschungsfeld der angewandten Mathematik, das sowohl in der Numerischen Analysis wie auch dem Wissenschaftlichen Rechnen eine wichtige Stellung erlangt hat. Das Feld wird im weiteren Sinne als Uncertainty Quantification (UQ) bezeichnet. Im Rahmen der Vorlesung sind wir hauptsächlich an der Untersuchung numerischer Verfahren für die Simulation von PDE mit stochastischen Eingangsdaten interessiert, wie sie in vielen praktischen Anwendungen in Form von Fertigungs- und Messunsicherheiten, stochastischen Medien oder zufälligen Kräften in der Natur auftreten. Die Diskretisierung solcher Modelle führt bei vielen numerischen Verfahren auf hochdimensionale Systeme, für deren Darstellung und Lösung moderne Kompressionsverfahren wie die hier vorgestellten Tensorformate eingesetzt werden müssen.

Inhalte:

• PDE Modellproblem: deterministisch → parametrisch
• Darstellung stochastischer Felder
• polynomielles Wiener Chaos
• Regularität parametrischer Lösungen
• stochastische Galerkinverfahren (SFEM)
• Kollokation und Dünngitterapproximation
• Adaptivität
• hierarchische Tensoren, matrix product-states (MPS), higher order SVD (HOSVD)
• alternating least squares (ALS) Loeser, Dirac-Frenkel
• Baye'sche Inversion (einführend)

Mindestens eine der folgenden Vorlesungen sollte bereits absolviert worden sein: 

• Funktionalanalysis
• Differentialgleichungen
• Numerik Partieller Differentialgleichungen
• Wissenschaftliches Rechnen

Wird in der Vorlesung bekanntgegeben