TU Berlin

Uncertainty Quantification and Statistical Learning WiSe 2018/2019

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Uncertainty Quantification and Statistical Learning

Termine
Di
14:00 - 16:00
Vorlesung
E-N193
Professor Dr. Reinhold Schneider
Dr. Martin Eigel

Do
10:00 - 12:00
Vorlesung
H3003A
Professor Dr. Reinhold Schneider
Dr. Martin Eigel

Sekretariat
MA568

Beschreibung

Die Vorlesung befasst sich einführend mit den zwei hochaktuellen Themen der Uncertainty Quantification sowie des Statistischen Lernens und untersucht interessante Verbindungen zwischen diesen.


Die Modellierung und das Durchführen von Berechnungen mit stochastischen (unsicheren) Daten ist ein populäres modernes Forschungsfeld der angewandten Mathematik, das sowohl in der Numerischen Analysis wie auch dem Wissenschaftlichen Rechnen eine wichtige Stellung erlangt hat. Das Feld wird im weiteren Sinne als Uncertainty Quantification (UQ) bezeichnet. Im Rahmen der Vorlesung sind wir hauptsächlich an der Untersuchung numerischer Verfahren für die Simulation von PDEs mit stochastischen Eingangsdaten interessiert, wie sie in vielen praktischen Anwendungen in Form von Fertigungs- und Messunsicherheiten, stochastischen Medien oder zufälligen Kräfte in der Natur auftreten. Die Diskretisierung solcher Modelle führt bei vielen numerischen Verfahren auf hochdimensionale Systemen, für deren Darstellung und Lösung moderne Kompressionsverfahren wie die hier vorgestellten Tensorformate eingesetzt werden müssen.


Statistisches Lernen ist ein Teilbereich des Maschinellen Lernens und hat die Bestimmung einer Vorhersagefunktion anhand von Trainingsdaten zum Ziel. Üblicherweise werden Klassifikations- (z.B. bei Bildern) und Regressionsprobleme untersucht. Wir betrachten das formale Lernproblem insbesondere anhand der Empirical Risk Minimisation (ERM). Komplexitäts- und Konvegenzuntersuchungen spielen dabei eine entscheidende Rolle. Im Kontext der UQ und der Tensordarstellungen ergeben sich neue Möglichkeiten für Anwendung und Analysis, die in der Vorlesung vorgestellt werden.

Themenübersicht:

  • PDE Modellproblem: deterministisch -> parametrisch
  • Darstellung stochastische Felder
  • Polynomielles Chaos
  • Regularität parametrischer Lösungen
  • Stochastische Galerkinverfahren (SFEM)
  • Hierarchische Tensoren (HT), matrix product states (MPS), higher order SVD (HOSVD) 
  • Alternating Least Squares (ALS) Löser 
  • Samplebasierte Tensorrekonstruktion 
  • Bayes'sche Inversion 
  • Grundlagen von Lernproblemen (Klassifikation und Regression) 
  • Lineare und nichtlineare Regression 
  • Loss Funktionen und Regularisierung 
  • Empirical Risk Minimization (ERM) 
  • Kernmethoden 
  • Analogien zwischen Neuronalen Netzen und Hierarchischen Tensoren

Voraussetzungen

Mindestens eine der folgenden Vorlesungen sollte bereits absolviert worden sein: 

  • Funktionalanalysis
  • Differentialgleichungen
  • Numerik Partieller Differentialgleichungen
  • Wissenschaftliches Rechnen

Literatur

Wird in der Vorlesung bekanntgegeben

 

 

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