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| Zeit | Raum | Verantwortlicher | |
|---|---|---|---|
| Vorlesungen | Do, 14.15 - 15.45 Uhr | MA 542 | Dr. Kersten Schmidt |
| Übungen | Mi, 14.15 - 15.45 Uhr | MA 376 | Dr. Anastasia Thöns-Zueva |
Inhalt
Mathematische Modelle der Naturwissenschaften oder technologische Bauteile weisen oft sehr verschiedene Zeit- oder Ortsskalen auf. Die verschiedenen Skalen werden nach einer Umskalierung durch einen (meist) kleinen Parameter sichtbar, nennen wir ihn zum Beispiel ε. Dieser Parameter hat meist einen singulären Charakter and kann nicht einfach Null gesetzt werden. Die Lösung des Modells mit ε = 0 unterscheidet sich in diesen Fällen von der Lösung mit kleinem, aber nicht verschwindendem Parameter und die Anwendung von Standardmethoden führt oft zu völlig falschen Ergebnissen.
Für die Analysis und Lösung solcher singulär gestörten Problem können die asymptotische Analysis und asymptotische Entwicklungen sehr hilfreich sein. Das ursprüngliche Problem wird durch eine Reihe von Problemen ersetzt, welche wesentlich einfacher zu behandeln sind, und deren Lösungen (in Summe) Näherungen an die Lösung des ursprünglichen Problems darstellen. Es existieren spezielle analytische Methoden wie die "Method of matched asymptotics'' oder die Multiskalenmethode und speziell angepasste numerische Methoden.
- Grenzlösung (links) für eine dünne leitende Schicht (Wirbelstrommodell) und Korrekturfunktionen erster (Mitte) und zweiter Ordnung (rechts).
- © Kersten Schmidt
Themen:
- Asymptotische Folgen und Reihen
- Asymptotik von Integralen (Laplace-Integrale, Watson-Lemma, Methode der stationären Phase, steepest descent-Methode)
- Asymptotik von (gewöhnlichen) Differentialgleichungen (reguläre asymptotische Entwicklung, singulär gestörte Differentialgleichungen, Method of matched asymptotic expansions, Mehrskalenmethode, WKB-Methode)
Literatur
- H.J.J. Roessel and J.C. Bowman, Asymptotic Methods, lecture notes, University of Alberta, Edmonton, Canada, 2012.
http://www.math.ualberta.ca/~bowman/m538/m538.pdf - C. Bender and S. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, Springer, 1999
- J. A. Murdock, Perturbations: Theory and Methods, SIAM, 1987.
- W. Eckhaus, Asymptotic Analysis of Singular Perturbations, North-Holland, 1979.
- J. Kevorkian und J.D. Cole, Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Springer, Applied Mathematical Sciences 114, 1996.
Übungen
Die Abgabe kann in Form von handgeschriebenen oder ausgedruckten Blättern erfolgen oder in Form einer PDF-Datei im Anhang einer E-Mail an Anastasia Thöns-Zueva.